Anar Sahib oğlu Ələkbərov 1998-ci ildə Bakıda Qərb Universitetinin Beynəlxalq Menecment ixtisası üzrə bakalavr, 2001-ci ildə isə adıçəkilən ali təhsil müəssisəsinin Beynəlxalq İqtisadi Münasibətlər ixtisası üzrə magistr dərəcəsinə yiyələnib.

2008-ci ildən Heydər Əliyev Fondunun, 2012-ci ildən isə Heydər Əliyev Mərkəzinin icraçı direktoru vəzifəsində çalışır.

2013-cü ildə Fransanın "İncəsənət və ədəbiyyat ordeni” ilə təltif edilib.

2014-cü ildən Azərbaycan Avtomobil İdman Növləri Federasiyası prezidenti vəzifəsində çalışır. Ölkəmizdə hər il təşkil edilən Formula-1 yarışlarının təşkil edilməsində əsas şəxslərdən biri məhz Anar Ələkbərovdur.

2014-cü ildə Azərbaycan və Macarıstan arasında əlaqələrin genişləndirilməsində və bu ölkədə mədəni-humanitar layihələrin həyata keçirilməsindəki xidmətlərinə görə Macarıstanın dövlət mükafatı - "Komandor xaç” ordeni ilə təltif edilib.

Heydər Əliyev Fondunun həyata keçirdiyi bir sıra layihələri icra edir.

2014-cü ildə "Mehriban Əliyeva - xeyirxahlıq və ümid mücəssəməsi" adlı məqaləsi və "Mehriban" adlı kitabı çap edilib.

İndiyə qədər bir çox beynəlxalq konfranslarda Azərbaycanı təmsil edib.

2015-ci ildə "Milan Expo 2015” Ümumdünya sərgisində Azərbaycan Nümayəndə heyətinin sədri olub.

2017-ci ildə Azərbaycanın Birinci vitse-prezidenti Mehriban Əliyevanın köməkçisi təyin olunub.

2019-cu il noyabrın 29-da Prezident İlham Əliyevin imzaladığı sərəncamla Anar Ələkbərov Azərbaycan Respublikası Prezidentinin köməkçisi təyin edilib.

Azərbaycan Respublikası Vergilər nazirinin müavini Sahib Ələkbərovun oğludur.